微积分学习笔记

为什么学习微积分

历史意义

  • 变量数学时期,17世纪后期由牛顿、莱布尼兹创立的微积分是最主要的成就
  • 微积分的诞生是全部数学史上,也是人类历史上最伟大最由影响的创举
  • 微积分导致后来一切科学和技术领域的革命
  • 离开微积分,人类将停顿前进的步伐

产生背景

  • 从埃及尼罗河沿岸每年丈量土地开始,人们就再寻求一种计算不规则图形面积的方法
  • 众多科学家意识到其中有个“幽灵”说不清道不明,其代表人物:阿基米德,芝诺,欧道克斯,庄子,刘徽
  • 需对迫切待解决的问题摆在数学家面前:描述处理运动?曲线的切线?曲线的长度?曲面的面积?曲面围城的多面体的面积?极大极小问题?等等

历史阶段

  • 早期学派 莱布尼兹 到 伯努利兄弟、欧拉、拉格朗日、柯西;从牛顿 到 泰勒、麦克劳林;
  • 经典学派 柯西 黎曼 刘维尔 魏尔斯特拉斯
  • 现代学派 康托尔 沃尔泰拉 贝尔 勒贝格

发展变化

  • 从曲线到函数
  • 从几何方法到代数方法
  • 从直觉思维到冷静的逻辑思维

数学是一个极端复杂和极具挑战性的学科

时间 国家 数学家 数学科学发展大事记
1669 英国 牛顿 发明解非线性方程的牛顿-雷夫逊方法(英国 牛顿、雷夫逊)。
1684 德国 莱布尼茨 莱布尼茨发表关于微分法的著作《关于极大极小以及切线的新方法》。
1686 德国 莱布尼茨 莱布尼茨发表了关于积分法的著作。
1691 瑞士 约翰·伯努利 约翰·伯努利出版《微分学初步》,促进了微积分在物理学和力学上的应用及研究。
1697 瑞士 约翰·伯努利 解决了一些变分问题,发现最速下降线和测地线(瑞士 约翰·伯努利)。
1704 英国 牛顿 牛顿发表《三次曲线枚举》、《利用无穷级数求曲线的面积和长度》、《流数法》。
1711 英国 牛顿 牛顿发表《使用级数、流数等等的分析》。
1712 英国 泰勒 1712年7月给其老师梅钦(数学家 、天文学家)信中首先提出的著名定理--泰勒定理:式内v为独立变量的增量, 及 为流数。
1713 瑞士 雅各布·伯努利 出版概率论的第一本著作《猜度术》(瑞士 雅各布·伯努利)。
1736 英国 牛顿 牛顿发表《流数法和无穷级数》。欧拉出版《力学、或解析地叙述运动的理论》,是用分析方法发展牛顿的质点动力学的第一本著作。
1744 英国 麦克劳林 1742年撰写的《流数论》以泰勒级数作为基本工具,是对牛顿的流数法作出符合逻辑的、系统解释的第一本书。当泰勒公式中x=0时便称作麦克劳林定理。
1744 瑞士 欧拉 欧拉导出了变分法的欧勒方程,发现某些极小曲面。
1748 瑞士 欧拉 欧拉出版了系统研究分析数学的《无穷分析概要》。
1761 法国 拉格朗日 1760─1761拉格朗日系统地研究了变分法及其在力学上的应用。
1767 法国 拉格朗日 拉格朗日发现分离代数方程实根的方法和求其近似值的方法。
1771 法国 拉格朗日 1770─1771拉格朗日把置换群用于代数方程式求解,这是群论的开始。
1772 法国 拉格朗日 拉格朗日给出三体问题最初的特解。
1774 瑞士 欧拉 1755—1774 欧拉出版《微分学》和《积分学》三卷。
1788 法国 拉格朗日 拉格朗日出版《解析力学》,把新发展的解析法应用于质点、刚体力学。
1797 法国 拉格朗日 拉格朗日发表《解析函数论》不用极限的概念而用代数方法建立微分学。
1821 法国 柯西 柯西《分析教程》出版,用极限严格地定义了函数的连续、导数和积分,研究了无穷级数的收敛性等。
1825 法国 柯西 柯西发明关于复变函数的柯西积分定理,并用来求物理数学上常用的一些定积分值。
1831 法国 柯西 发现解析函数的幂级数收敛定理(法国 柯西)。
1836 法国 柯西 柯西证明解析系数微分方程式解的存在性。证明具有已知周长的一切封闭曲线中包围最大面积的图形必定是圆(瑞士 施坦纳)。
1837 德国 狄利克雷 第一次给出了三角级数的一个收敛性定理(德国 狄利克莱)。
1840 德国 狄利克雷 把解析函数用于数论,并且引入了“狄利克雷”级数(德国 狄利克雷)。
1850 德国 黎曼 黎曼给出了“黎曼积分”的定义,提出函数可积的概念。
1851 德国 黎曼 黎曼提出共形映照的原理,在力学、工程技术中应用颇多,但未给出证明。
1851 法国 刘维尔 刘维尔发现了第一个超越数
1854 德国 黎曼 黎曼建立更广泛的一类非欧几何学——黎曼几何学,并提出多维拓扑流形的概念。切比雪夫开始建立函数逼近论,利用初等函数来逼近复杂的函数。
1856 德国 魏尔斯特拉斯 魏尔斯特拉斯建立极限理论中的ε-δ方法,确立了一致收敛性的概念。
1857 德国 黎曼 黎曼详细地讨论了黎曼面,把多值函数看成黎曼面上的单值函数。
1872 德国 魏尔斯特拉斯 数学分析的“算术化”,即以有理数的集合来定义实数(德国 戴特金、康托尔、魏尔斯特拉斯)。
1873 法国 埃尔米特 证明了e是超越数(法国 埃尔米特)。
1876 德国 魏尔斯特拉斯 《解析函数论》发行,把复变函数论建立在幂级数的基础上(德国 魏尔斯特拉斯)。
1882 德国 林德曼 证明了π是超越数(德国 林德曼)。
1883 德国 康托尔 康托尔建立集合论,发展了超穷基数的理论。
1901 法国 勒贝格 法国数学家勒贝格,提出勒贝格测度和勒贝格积分,推广了长度、面积积分的概念。