02-数列的极限

4大属性（唯一性、有界性、保号性、数列收敛的充要条件）

计算方法（直接计算、夹逼准则、单调有界准则）

数列极限的定义

德国·魏尔斯特拉斯

1. $\epsilon-N$ 语言

   $$\lim_{n \to \infty } x_n = a \iff \forall \epsilon \gt 0, \exists N \in N_+, 当 n \gt N 时, 恒有 | x_n - a | \lt \epsilon.$$

2. 数列与子列的关系

   1. 定理：若数列 ${an}$ 收敛，则其任何子列 ${a{nk}}$ 也收敛, 且 $\lim{k \to \infty } a{n_k}=\lim{n \to \infty } a_n $.
   2. 推论：
   $$\lim_{n \to \infty } a_n=a \iff \lim_{k \to \infty } a_{2k}=a, 且 \lim_{k \to \infty } a_{2k-1}=a$$
   1. 推论：原数列收敛则子数列收敛；子数列发散则原数列发散

3. 定义证明数列存在极限的步骤

   1. 写距离 $ | x_n - a | \lt \epsilon$
   2. 反解出 $n > g(\epsilon)$
   3. 取 $N = \lfloor g(\epsilon)\rfloor + 1 (n \gt N)$

4. 证明题

   1. 证明: $\lim_{n \to \infty } \lfloor 1 + \frac{(-1)^n}{n} \rfloor= 1$
   2. 证明: $\lim_{n \to \infty } q^n=0 (q 为常数且 |q| \lt 1)$
   3. 证明: 若 $\lim{n \to \infty } a_n=A$, 则 $\lim{n \to \infty } |a_n|=|A|$
   4. 证明: 数列 $n^{(-1)^n}$极限不存在.

收敛数列的性质

收敛 即 数列极限存在 $\lim_{n \to \infty } x_n=A$；
发散 即 数列极限不存在

1. 唯一性：极限存在则 A 唯一
2. 有界性：极限存在则 数列有界
3. 保号性：极限存在，若
   1. 【脱帽-脱掉lim】 $A \gt 0 $ 则 $x_n \gt 0$
   2. 【戴帽-加上lim】 $x_n \gt 0$ 则 $ A \ge 0$
   3. 【戴帽-加上lim】 $x_n \ge 0$ 则 $ A \ge 0$
4. 收敛的充要条件：所有子列 ${a_{n_k}}$ 均收敛于$A$

数列极限的计算

1. 极限运算规则

   设$\lim{n \to \infty } x_n=a$, $\lim{n \to \infty } y_n=b$，则

   1. $\lim_{n \to \infty } (x_n \pm y_n)=a \pm b$
   2. $\lim_{n \to \infty } (x_n y_n)=a b$
   3. $\lim_{n \to \infty } (\frac{x_n} {y_n})=\frac{a}{b} (b\ne0,y\ne0)$

1. 夹逼准则

   如果数列${x{n}}$,${y{n}}$,${z_{n}}$满足以下条件

   1. $ y{n} \leq x{n} \leq z_{n} (n = 1,2,3,…)$

   2. $\lim{n \to \infty } y_n=a, \lim{n \to \infty } z_n=a$

   则数列${x{n}}$的极限存在, 且$\lim{n \to \infty } x_n=a$.

2. 单调有界准则

   1. 单调有界数列必有极限
   2. 若数列${a{n}}$ 单调增加（减少）且有上界（下界）,则 $\lim{n \to \infty } x_n$存在.

3. 计算题

1. 设$\lim{n \to \infty } (a_n + b_n)=1$, $\lim{n \to \infty } (an - b_n)=3$, 证明${a{n}}$,${b_{n}}$极限存在, 并求值.

2. 求极限

   $$\lim_{n \to \infty }(\frac{n}{n^2+1} + \frac{n}{n^2+2} + ... + \frac{n}{n^2+n})=1$$

1. 设数列${xn}$满足$0 < x_1 < \pi, x{n+1} = \sin xn (n=1,2,…)$.证明$lim{n \to \infty} x_n$ 存在, 并求该极限.